Operaţii cu numere naturale

Reprezentarea pe axa numerelor

Axa numerelor este o dreaptă d pe care se fixează un punct O, numit origine, un sens de parcurgere de la stânga la dreapta, numit sens pozitiv, şi un segment OI, numit unitate de măsură.

În acest fel fiecărui număr natural îi corespunde pe axă un punct:

• numărului 0 îi corespunde pe axă punctul O, originea;
• numărului 1 îi corespunde pe axă punctul I;
• unui număr n îi corespunde pe axă punctul P, care se obţine măsurând pe axă, de la punctul O şi în sens pozitiv, n unităţi de măsură.

Pe axa numerelor de mai jos sunt reprezentate punctele O(0), I(1), A(2), B(3), C(4) şi P(n).

Citim: “punctul O de coordonată 0”, “punctul B de coordonată 3” etc.

Observaţii:

1. Orice număr care nu este numărul 0 se numeşte nenul; dacă a este un număr natural nenul, se scrie  şi se citeşte “numărul a este diferit de zero”.

2. Oricare două puncte consecutive de pe axa numerelor se află la aceeaşi distanţă unul de altul.

3. Pe axă numerele mai mari sunt aşezate la dreapta numerelor mici.

Compararea şi ordonarea numerelor naturale

Axa numerelor ne ajută să comparăm şi să ordonăm numerele naturale.

A ordona numerele naturale înseamnă a le aşeza în şir crescător sau descrescător.

În compararea numerelor naturale se folosesc următoarele semne: <, =, >, ≤, ≥.

Pentru oricare două numere naturale a şi b avem următoarele relaţii:

• a < b, numărul a este mai mic decât numărul b;
• a = b, numărul a este egal cu numărul b;
• a > b, numărul a este mai mare decât numărul b;
• a ≤ b, numărul a este mai mic sau egal cu numărul b;
• a ≥ b, numărul a este mai mare sau egal cu numărul b;

Exemplu: Să se scrie toate numerele naturale mai mari ca 1 001 şi mai mici sau egale cu 1 004.

Numerele cerute sunt 1 002, 1 003, 1 004.

Observaţii:

1. Dintre două numere naturale care au un număr diferit de cifre, este mai mare numărul care are mai multe cifre (exemplu: 2 473 > 812).

2. Dintre două numere naturale care au acelaşi număr de cifre, este mai mare numărul în care o cifră este mai mare decât cifra de acelaşi ordin din cel de-al doilea număr, cifrele de ordin superior fiind egale două câte două (exemplu: 74 857 > 74 832).

Aproximarea numerelor naturale

În anumite situaţii nu este necesar să se ştie cu exactitate toate cifrele unui număr, ci numai ordinul său de mărime.

Pentru aceasta se înlocuieşte numărul cu un alt număr apropiat de el şi se spune că s-a folosit aproximarea numărului respectiv. Aproximarea poate fi: prin lipsă, prin adaos sau prin rotunjire.

Aproximarea prin lipsă a unui număr natural la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mare număr natural format numai din zeci (sute, mii etc.) mai mic sau egal cu numărul respectiv. Aproximarea prin lipsă se obţine când se renunţă la una, două sau mai multe cifre şi se înlocuiesc cu zero.

Exemple:

1. Aproximarea prin lipsă până la zeci a numărului 43 573 este 43 570.
2. Aproximarea prin lipsă până la sute a numărului 43 573 este 43 500.
3. Aproximarea prin lipsă până la mii a numărului 43 573 este 43 000.

Aproximarea prin adaos a unui număr natural la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mic număr natural format numai din zeci (sute, mii etc.) mai mare sau egal cu numărul respectiv. Aproximarea prin adaos se obţine când ultima (penultima, antepenultima etc.) cifră se măreşte cu o unitate.

Exemple:

1. Aproximarea prin adaos până la zeci a numărului 43 573 este 43 580.
2. Aproximarea prin adaos până la sute a numărului 43 573 este 43 600.
3. Aproximarea prin adaos până la mii a numărului 43 573 este 44 000.

Rotunjirea unui număr natural la zeci (sute, mii etc.) este aproximarea, prin lipsă sau prin adaos, la cea mai apropiată valoare de valoarea numărului respectiv.

Exemple:

1. Rotunjirea până la zeci a numărului 43 573 este 43 570.
2. Rotunjirea până la sute a numărului 43 573 este 43 600.
3. Rotunjirea până la mii a numărului 43 573 este 44 000.

Observaţie:

Dacă ambele aproximări prin lipsă şi prin adaos sunt la fel de apropiate de valoarea numărului, atunci rotunjirea se consideră aproximarea prin adaos.

Exemple:

• Rotunjirea până la zeci a numărului 43 575 este 43 580.
• Rotunjirea până la sute a numărului 43 550 este 43 600.
• Rotunjirea până la mii a numărului 43 500 este 44 000.